如图，在菱形中，F为边上一点，将沿折叠，点C恰好落在延长线上的点E处，连接交于点G，若，，则的长为．

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1. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，F为 $\text{[math]}$ 边上一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点C恰好落在 $\text{[math]}$ 延长线上的点E处，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

【考点】

菱形的性质; 翻折变换（折叠问题）;

【答案】

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填空题容易

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 已知菱形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，则对角线 $\text{[math]}$ 厘米．

填空题容易

2. 如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则△ABC的周长是．

填空题容易

3. 已知菱形 $\text{[math]}$ 的对角线相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则菱形的面积为 $\text{[math]}$ .

填空题容易

1. 如图，将菱形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边的点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是.

填空题普通

2. 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是．

填空题普通

3. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．

填空题普通

1. 如图，在菱形ABCD中，点E是BC边的中点，动点M在CD边上运动，以EM为折痕将△CEM折叠得到△PEM，联接PA，若AB=4，∠BAD＝60°，则PA的最小值是（）

A. $\text{[math]}$ B. 2 $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 如图，两根木条钉成一个角形框架 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将一根橡皮筋两端固定在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 处，拉展成线段 $\text{[math]}$ ，在平面内，拉动橡皮筋上的一点 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 是菱形时，橡皮筋再次被拉长了（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

3. 如图，把一个长方形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（）

A. 30°或50° B. 30°或60° C. 40°或50° D. 40°或60°

单选题普通

(1) 【探究发现】

如图（a），正方形ABCD的边长为6，E为边AB的中点， $\text{[math]}$ 是边BC上的一点，将 $\text{[math]}$ 沿EF对折，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 恰好落在DF上时，求BF的长．

(2) 【能力提升】

如图（b），E ， F分别是矩形ABCD的边AB、BC上的点， $\text{[math]}$ 为BC的中点，将 $\text{[math]}$ 沿EF对折，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ．连接DG ，当 $\text{[math]}$ 时，求四边形DGFC的面积．

(3) 【拓展应用】

菱形ABCD的边长为 $\text{[math]}$ 是边AB上一点， $\text{[math]}$ 是边BC上一点，将 $\text{[math]}$ 沿EF对折，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 落在菱形的一条边或一条对角线上，且 $\text{[math]}$ 时，直接写出BF的长度．

实践探究题困难

2. 【综合与实践】

在一次综合实践活动课上，郑老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．

【操作探究】

“励志”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第1步：如图1所示，先将正方形纸片 $\text{[math]}$ 对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ；

第2步：将 $\text{[math]}$ 边沿 $\text{[math]}$ 解析到 $\text{[math]}$ 的位置；

第3步：延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边的三等分点．

证明过程如下：连接 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 正方形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ △ $\text{[math]}$ △ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ （个单位）， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，

$\text{[math]}$ ▲ ，

$\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ △ $\text{[math]}$ 中，可列方程： ▲ ，

解得： $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边的三等分点．

“励志”小组是这样操作的：

第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ；

第2步：再将正方形纸片对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，再展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 翻折得折痕 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

第3步：过点 $\text{[math]}$ 折叠正方形纸片 $\text{[math]}$ ，使折痕 $\text{[math]}$ ．

(1) 【过程思考】①“励志”小组的证明过程中，①处的值为 ▲ ；②处的方程是 ▲ ；

②结合“励志”小组操作过程，判断点 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 边的三等分点，并证明你的结论；

(2) 【拓展提升】①如图3，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 对折，使点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 重合，展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ，将△ $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得到△ $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 折叠矩形纸片，使折痕 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的三等分点，请求出 $\text{[math]}$ 的值．

②如图4，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的一个三等分点，记点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 的边交于点 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

3. 已知菱形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，其顶点都在坐标轴上，且点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求点 $\text{[math]}$ 的坐标及菱形 $\text{[math]}$ 的面积；

(2) 点 $\text{[math]}$ 是菱形边上一动点，沿 $\text{[math]}$ 运动（到达 $\text{[math]}$ 点时停止）

①如图1，当点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称的点 $\text{[math]}$ 恰好落在直线 $\text{[math]}$ 上时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．

②探究：如图2，当 $\text{[math]}$ 运动到 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边时，作 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称图形为 $\text{[math]}$ ，是否存在这样的 $\text{[math]}$ 点，使点 $\text{[math]}$ 正好在直线 $\text{[math]}$ 上？若存在，求出满足条件的点 $\text{[math]}$ 坐标；若不存在，请说明理由．