课本中有一个例题：有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为，利用图③，解答下列问题：

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1. 课本中有一个例题：

有一个窗户形状如图①，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为 $\text{[math]}$ ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？

这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 $\text{[math]}$ 时，透光面积最大值约为 $\text{[math]}$ ．

我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为 $\text{[math]}$ ，利用图③，解答下列问题：

(1) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，求此时窗户的透光面积；

(2) 与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．

【考点】

二次函数的最值; 二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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解答题普通

1. 【生活情境】

为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ 的长方形水池 $\text{[math]}$ 进行加长改造（如图①，改造后的水池 $\text{[math]}$ 仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为 $\text{[math]}$ 的矩形水池 $\text{[math]}$ （如图②，以下简称水池2）．

【建立模型】

如果设水池 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 加长长度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，加长后水池1的总面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式为： $\text{[math]}$ ；设水池2的边 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，面积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式为： $\text{[math]}$ ，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③．

【问题解决】

(1) 若水池2的面积随 $\text{[math]}$ 长度的增加而减小，则 $\text{[math]}$ 长度的取值范围是______（可省略单位），水池2面积的最大值是_______ $\text{[math]}$ ；

(2) 在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是_______，此时的 $\text{[math]}$ 值是_______；

(3) 当水池1的面积大于水池2的面积时， $\text{[math]}$ 的取值范围是_______；

(4) 在 $\text{[math]}$ 范围内，求两个水池面积差的最大值和此时 $\text{[math]}$ 的值；

解答题普通

2. 某小区在一块矩形 $\text{[math]}$ 的空地上划一块四边形 $\text{[math]}$ 进行绿化．如图 15-5，已知矩形的边 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 的顶点在矩形的边上，且 $\text{[math]}$ ，设四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数关系式为，自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围为 $\text{[math]}$

(2) 若为了小区老人有足够的运动区域，要求 $\text{[math]}$ 不少于 $\text{[math]}$ ，求此时 $\text{[math]}$ 的最小值及相应的 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 若每平方米绿化费用需 5 元，求绿化的最低费用为多少万元．

解答题普通

3. 某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，用一道䇤笆把花园分为 $\text{[math]}$ 两块（如图 15-6 所示），花园里种满牡丹和药药．学校已定购篱笆 120 米．

(1) 设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；

(2) 在花园面积最大的条件下， $\text{[math]}$ 两块内分别种植牡丹和药药，每平方米种植 2 株，已知牡丹每株售价 25 元，苟药每株售价 15 元，学校计划购买费用不超过 5 万元，求最多可以购买多少株牡丹？

解答题普通