（1）如图1，在与中，，，连结，，求和的数量关系；（2）如图2，在与中，，，边和交于点F．点D在边上，，求；（3）如图3，若，，，，当的值最大时，直接写出的值．

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1. （1）如图1，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系；

（2）如图2，在 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 交于点F．点D在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

（3）如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的值最大时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

勾股定理; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点F，交 $\text{[math]}$ 于点E，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上的高， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易

3. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 五个点均在边长为1的小正方形组成的网格线的格点上，若 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题容易

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点P从点C出发，沿 $\text{[math]}$ 以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作 $\text{[math]}$ 的垂线交射线 $\text{[math]}$ 于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于 $\text{[math]}$ 的对称点N．设点P的运动时间为t秒 $\text{[math]}$

(1) $\text{[math]}$ ______；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的长．（用含t的代数式表示）

(3) 取 $\text{[math]}$ 的中点Q．

①连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当点M在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

②连结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出t的值．

解答题困难

(1) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ________ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ _______ $\text{[math]}$ ；

(2) 当t为多少秒时， $\text{[math]}$ 为等腰三角形？请说明理由；

(3) 当t为多少秒时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切？请说明理由．

解答题困难

3. 在平面直角坐标系中，O为原点，直角三角形纸片 $\text{[math]}$ 顶点A在x，轴的正半轴上，点B在第一象限，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 填空：如图①，点A的坐标是______，点B的坐标是______；

(2) 点P是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点（点P不与点O，A重合）过点P作直线l交直线 $\text{[math]}$ 于点O，且 $\text{[math]}$ ，将直角三角形纸片 $\text{[math]}$ 沿直线l向上翻折，点O的对应点为C，折叠后与直角三角形 $\text{[math]}$ 重合部分的面积为S，设 $\text{[math]}$ ．

①如图②，当边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 相交于点E，F，且折叠后重叠部分为四边形时，试用含有m的式子表示S，并直接写出m的取值范围；

②当 $\text{[math]}$ 时，求m的取值范围（直接写出结果即可）．

解答题困难

1. 如图 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A. 3 B. 2 C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E为 $\text{[math]}$ 边上的中点，连接 $\text{[math]}$ ，已知点F为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长，交 $\text{[math]}$ 于点D．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

填空题困难

3. 规定：平面上一点到一个图形的距离是指这点与这个图形上各点的距离中最短的距离．如图①当 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 的长度是点 $\text{[math]}$ 到线 $\text{[math]}$ 的距离；当 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 的长度是点 $\text{[math]}$ 到线段MN的距离；如图②，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D为边 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，如果点Q为边 $\text{[math]}$ 上一点，且点Q到线段 $\text{[math]}$ 的距离不超过 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的长为d，那么d的取值范围为．

填空题困难

1. 如图（1），在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ ____；

(2) 若点P是线段 $\text{[math]}$ 上一点，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图（2），点E是边 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，则：① $\text{[math]}$ =_____；

②如图（3）分别以 $\text{[math]}$ 为边作矩形 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 如图1，在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M、N分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转，射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点Q．

(1) 如图2，在旋转过程中， $\text{[math]}$ 的度数会发生改变吗？若改变，请说明理由，若不变，请求出 $\text{[math]}$ 度数；

(2) 当点N在直线 $\text{[math]}$ 上方时，

①如图3，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

②连接 $\text{[math]}$ ，当线段 $\text{[math]}$ 的长度最小时，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

3. 综合与实践

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．

定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．

(1) 操作判断

用分别含有 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有（填序号）．

(2) 性质探究

根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．在课后数学老师留下了对邻等对补四边形与对角线相关性质的两个问题①和②，数学兴趣小组长小明邀请小组同学对老师留下的两个问题进行了研究，如下图所示，请你根据提示继续帮小明小组解决问题．

如图2，四边形 $\text{[math]}$ 是邻等对补四边形， $\text{[math]}$ 是它的一条对角线．

①如图2，写出图中相等的角，并说明理由；

小明小组讨论后，解题思路如下：① $\text{[math]}$ ，

理由：延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是邻等对补四边形，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请你根据①的思路提示帮小明小组求出 $\text{[math]}$ 的长（用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的式子表示）．

(3) 拓展应用

如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，分别在边 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请具体写出求 $\text{[math]}$ 长的过程．