问题，如图，已知，平分，，求的度数．探究：小明同学想到了用方程的思想解决这个问题，他设，然后通过题中等量关系列出方程，将几何问题转化为方程问题．你能否按照小明同学的思路，求出的度数？

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1. 问题，如图，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

探究：小明同学想到了用方程的思想解决这个问题，他设 $\text{[math]}$ ，然后通过题中等量关系列出方程，将几何问题转化为方程问题．

你能否按照小明同学的思路，求出 $\text{[math]}$ 的度数？

【考点】

角的运算; 角平分线的性质; 一元一次方程的实际应用-几何问题;

【答案】

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实践探究题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

换一批

1. 如图，点O，A，B在同一直线上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．

解答题容易

2. 如图所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数？

解答题容易

3. 如图∠COD=116°，∠BOD=90°，OA平分∠BOC，求∠AOD的度数．

解答题容易

1. 【操作拼图】已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 在上述所拼图形中， $\text{[math]}$ 的度数为________ $\text{[math]}$ ；

(2) 【问题探究】在上述所拼图形基础上，让三角板 $\text{[math]}$ 固定不动，将三角板 $\text{[math]}$ 绕着点O以每秒 $\text{[math]}$ 的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线 $\text{[math]}$ 的上方，设三角板 $\text{[math]}$ 的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当 $\text{[math]}$ 时，旋转时间t的值；

(3) 【拓展延伸】在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角板 $\text{[math]}$ 绕着点O以每秒 $\text{[math]}$ 的速度顺时针方向旋转的同时，三角板 $\text{[math]}$ 也绕着点O以每秒 $\text{[math]}$ 的速度逆时针方向旋转．在旋转过程中，两块三角板均在直线 $\text{[math]}$ 的上方，且当三角板 $\text{[math]}$ 停止旋转时，三角板 $\text{[math]}$ 也停止旋转．设三角板 $\text{[math]}$ 的旋转时间为t秒．在旋转过程中，是否存在某一时刻使 $\text{[math]}$ 三条边中一边是另外两边所成角的角平分线？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．

实践探究题困难

2. 【问题背景】如图1，已知射线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“量尺金线”．

【问题感知】

（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）

【问题初探】

（2）如图2， $\text{[math]}$ ．若射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“量尺金线”，则 $\text{[math]}$ 的度数为________；

【问题推广】

（3）在（2）中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 位置开始，以每秒旋转 $\text{[math]}$ 的速度绕点P按逆时针方向旋转，当 $\text{[math]}$ 首次等于 $\text{[math]}$ 时停止旋转，设旋转的时间为 $\text{[math]}$ ．当t为何值时，射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可）

实践探究题困难

3. 【动手实践】

在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．

请你利用一副含有 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 和含有 $\text{[math]}$ 角的直角三角板 $\text{[math]}$ 尝试完成探究．

【实验操作】

（1）如图1，边 $\text{[math]}$ 和边 $\text{[math]}$ 重合摆成图1的形状，则 $\text{[math]}$ ______度；

（2）保持三角板 $\text{[math]}$ 不动，将 $\text{[math]}$ 角的顶点与三角板 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 角的顶点重合，然后摆动三角板 $\text{[math]}$ ，请问：当 $\text{[math]}$ 是多少度时， $\text{[math]}$ ？请说明理由；（ $\text{[math]}$ ）

【拓展延伸】

（3）试探索：保持三角板 $\text{[math]}$ 不动，将 $\text{[math]}$ 角的顶点与三角板 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 角的顶点重合，然后摆动三角板 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的 $\text{[math]}$ 的度数． $\text{[math]}$

实践探究题普通

1. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 度数为（　　）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题容易

2. 图1，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 依次在直线 $\text{[math]}$ 上，现将射线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 沿顺时针方向以每秒 $\text{[math]}$ 的速度旋转；同时射线 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 沿逆时针方向以每秒 $\text{[math]}$ 的速度旋转．如图2，设旋转时间为 $\text{[math]}$ 秒（ $\text{[math]}$ ）．下列说法正确的是（）

A. 整个运动过程中，不存在 $\text{[math]}$ 的情况 B. 当 $\text{[math]}$ 时，两射线的旋转时间 $\text{[math]}$ 一定为20秒 C. 当 $\text{[math]}$ 值为36秒时，射线 $\text{[math]}$ 恰好平分 $\text{[math]}$ D. 旋转过程中，使射线 $\text{[math]}$ 是由射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的其中两条组成的角（指大于 $\text{[math]}$ 而不超过 $\text{[math]}$ 的角）的平分线，这样的 $\text{[math]}$ 值有两个

单选题普通

3. 如图，∠AOB为直角，∠BOC＝20°，OD是∠AOB的平分线，则∠COD的度数为．

填空题容易

1. 已知：如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图2，若射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 开始绕点 $\text{[math]}$ 以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 开始绕点 $\text{[math]}$ 以每秒旋转 $\text{[math]}$ 的速度逆时针旋转；其中射线 $\text{[math]}$ 到达 $\text{[math]}$ 后立即改变运动方向，以相同速度绕 $\text{[math]}$ 点顺时针旋转，当射线 $\text{[math]}$ 到达 $\text{[math]}$ 时，射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时停止运动，设旋转的时间为 $\text{[math]}$ 秒，当 $\text{[math]}$ 时，试求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图3，若射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 开始绕 $\text{[math]}$ 点逆时针旋转一周，作 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，试求在运动过程中， $\text{[math]}$ 的度数是多少？（请直接写出结果）

解答题困难

2. 如图， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度从 $\text{[math]}$ 位置出发，射线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度从 $\text{[math]}$ 位置出发，设两条射线同时绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 若 $\text{[math]}$ ．

①当三条射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 构成的三个度数大于 $\text{[math]}$ 的角中，有两个角相等，求此时 $\text{[math]}$ 的值；

②在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 转动过程中，射线 $\text{[math]}$ 始终在 $\text{[math]}$ 内部，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 已知直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点O．

(1) 如图①，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图②，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

解答题普通