如图，在长方形中，，折叠长方形使点B与点D重合，点C与点E重合，折痕与相交于点M、N，若，则．

1. 如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，∠BAD的平分线交BC于点E，则DE＝．

填空题容易

2. 如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为 $\text{[math]}$ ， B $\text{[math]}$ 与AD交于点E，若AB＝4，BC＝8，则BE的长为．

填空题容易

3. 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．折叠后的图形中的等腰三角形是， $\text{[math]}$ 的长为．

填空题容易

1. 在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，将矩形折叠，使得对角线的两个端点B，D重合，折痕所在直线分别交直线AB，直线CD于点E，F．若△OCF是等腰角形，则BC的长度为。

填空题困难

2. 在矩形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将矩形纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处（如图1），设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为.

填空题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， D是边AB上的一个动点，把 $\text{[math]}$ 沿CD折叠得 $\text{[math]}$ ，点B的对应点为 $\text{[math]}$ ．当点B恰好落在 $\text{[math]}$ 的边上时，AD的长为．

填空题普通

1. 如图，矩形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通

2. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B'处，则重叠部分 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A. 12 B. 10 C. 8 D. 6

单选题普通

3. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．

【操作】如图1，在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在的直线折叠，使点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．

【猜想】（1）请猜想线段 $\text{[math]}$ 的数量关系，并证明．

【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片 $\text{[math]}$ 折叠，使 $\text{[math]}$ 恰好落在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处，折痕为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题普通

1. 在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，P为 $\text{[math]}$ 边上一点，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ 的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在 $\text{[math]}$ 边上时，请你直接写出 $\text{[math]}$ 的长为_______．

(2) 如图2，点E是 $\text{[math]}$ 边上一动点，过点E作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点F，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图3，点M是射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，其中点A的对称点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， M，C三点在同一直线上时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

证明题普通

2. 在长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，P为 $\text{[math]}$ 边上一点，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ 的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在 $\text{[math]}$ 边上时，请你直接写出 $\text{[math]}$ 的长为_______．

(2) 如图2，点E是 $\text{[math]}$ 边上一动点，过点E作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 边于点F，将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为腰的等腰三角形时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图3，点M是射线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，其中点A的对称点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， M，C三点在同一直线上时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

证明题普通

3. 数学兴趣小组在对一张矩形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索．已知矩形纸片 $\text{[math]}$ 的边长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，折痕始终经过点 $\text{[math]}$ ．

折法一	折法二

如图1，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上运动，将矩形 $\text{[math]}$ 沿着 $\text{[math]}$ 向上折叠，使得点 $\text{[math]}$ 的落点 $\text{[math]}$ 恰好落在对角线 $\text{[math]}$ 上．	如图2，当点 $\text{[math]}$ 运动到点 $\text{[math]}$ 处，将矩形 $\text{[math]}$ 沿着对角线 $\text{[math]}$ 向上折叠，使得点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

请根据以上信息，完成下列问题：

(1) 计算折法一中 $\text{[math]}$ 的长度．

(2) 请根据折法二完成下列任务：

①任务一：求证 $\text{[math]}$ 是等腰三角形；

②任务二：计算 $\text{[math]}$ 的长度．

实践探究题普通