根据以下素材，探索完成任务.乒乓球发球机的运动路线素材一如图1，某乒乓球台面是矩形，长为280cm，宽为150cm，球网商度为14cm.乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方 25cm的点 P处.素材二假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离∞（m）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处.以O为原点，桌面中线所在直线为∞轴，建立如图2所示的平面直角坐标系。素材三如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）.问题解决任务一研究乒乓球的（1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求飞行轨迹写出自变量的取值范围）.任务二击球点的确定（2）当h=20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由。任务三击球点的距离（3）若h=40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围。

1. 数学活动：如何提高篮球运动罚球命中率——以小华同学为例
活动背景：某学校体育节进行班级篮球比赛，在训练过程中发现小华同学罚球命中率较低，为帮助小华同学提高罚球命中率，该班数学小组拍摄了如图1片并测量了相应的数据（图片标注的是近似值）．

(1) 模型建立：如图2所示，直线AE是地平线，A为小华罚球时脚的位置，篮球在运动过程中B、D、F为篮球的三个不同位置，B点为球出手时候的位置．已知AB=1.75m，CD=3.202m，EF=3.042m，AC=2.2m，AE=3.8m，篮球运动轨迹是抛物线的一部分，数学小组以A、B、C、D、E、F中的某一点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，计算出篮球的运动轨迹对应的抛物线解析式为 $\text{[math]}$ ，根据解析式，请你判断该数学小组是以点（填A、B、C、D、E、F中的一个）作为坐标原点

(2) 问题解决：已知篮球框与罚球线水平距离为4米，距离地面为3米，请问在（1）的情况下，小华的这次罚球能否罚进？并说明理由．

(3) 模型应用：如下图所示为抛物线 $\text{[math]}$ 的一部分函数图象，抛物线外一点P（4，3），试通过计算说明在不改变抛物线形状的情况下，把原抛物线向上平移多少个单位，能使平移后的抛物线经过点P．

实践探究题普通

2. 根据以下素材，探究完成任务．

如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面1.6m，当球到OA的水平距离为1m时，达到最大高度为1.8m．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方1m处（如图）架起距离地面高为245m的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．OC=8m
问题解决
任务1
计算投掷距离	建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离OB．
任务2
探求高度变化	求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议	为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．

实践探究题普通

3. 问题：如何设计击球路线？情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3m，击球点P在y轴上．

击球方案：

扣球	羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系C₁：y＝﹣0.4x+b，当羽毛球的水平距离为1m时，飞行高度为2.4m．
吊球	羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C₂ ，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米．
高远球	羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系C₃：y＝a（x﹣n）2+h，且飞行的最大高度在4.8m和5.8m之间．

探究：

(1) 求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式；

(2) ①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB的高度为多少；

②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离；

(3) 通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网4m处，他可前后移动各1m，接球的高度为2.8m，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围．

实践探究题困难

1. 如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数.现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），则t的取值范围是（）.

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以 $\text{[math]}$ 的速度将小球沿与地面成 $\text{[math]}$ 角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是 $\text{[math]}$ ，当飞行时间t为s时，小球达到最高点．

填空题普通

3. 某投球发射装置斜向上发射进行投球实验，球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足函数关系式 $\text{[math]}$ ，该装置的发射点离地面10米，球筐中心点离地面35米．如图，若某次投球正好中心入筐，球到达球筐中心点所需时间为5秒，那么这次投球过程中球离地面的高度h（米）与球运行时间t（秒）之间满足的函数关系式为．（不要求写自变量的取值范围）；我们把球在每2秒内运行的最高点离地面的高度与最低点离地面的高度的差称为“投射矩”，常用字母“L”表示．那么在这次投球过程中，球入筺前L的取值范围是．

填空题普通

1. 民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点 $\text{[math]}$ 处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台 $\text{[math]}$ 上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网 $\text{[math]}$ ，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知：点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 当抛物线过点 $\text{[math]}$ ，且与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 的坐标为___________，抛物线的解析式为_______________；

(2) 在（1）的条件下，若点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，为使演员在演出时不受伤害，求保护网 $\text{[math]}$ （线段 $\text{[math]}$ ）的长度至少为多少米；

(3) 设该抛物线的表达式为 $\text{[math]}$ ，若抛射点 $\text{[math]}$ 不变，为保证演员表演时落在平台 $\text{[math]}$ 上（即抛物线与线段 $\text{[math]}$ 有交点），请直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

2. 背景：2026年开始，深圳市体育中考将把球类运动作为必选项目．在某次校园“篮球比赛”活动中，小李同学展示了精彩的投篮技巧．假设小李投篮时篮球的运动路线是抛物线，如图1．已知以下信息：

①球员小李罚球线处投篮．罚球线到篮筐中心的水平距离为4.5米；

②篮筐的高度为3.05米；

③小李投篮时，篮球运动路线的最高点在离他的水平距离3米处，高度为3.5米．

(1) 求小李投篮时，篮球出手时的高度 $\text{[math]}$ ；

(2) 在刚才的投篮过程中，如图2，有一个防守队员小姜在小李正前方1米处，想跳起来去阻挡篮球入筐．已知小姜手臂向上伸展的时候，指尖距离脚底的最大高度为1.9米；小姜竖直弹跳的最大高度为 $\text{[math]}$ ，请问小姜是否能完成本次防守，说明理由．

解答题普通

3. 综合与实践

问题情境：为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究．

建模分析：

第一步：根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分；

第二步：如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系．

第三步：记录数据，实心球运动的高度 $\text{[math]}$ 与水平距离 $\text{[math]}$ 的部分数据如下表：

$\text{[math]}$	1	2	4	6	7
$\text{[math]}$	2.25	2.67	3	2.67	2.25

第四步：成绩分析．

问题解决：

(1) 求实心球运动的高度 $\text{[math]}$ 与水平距离 $\text{[math]}$ 的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

(2) 求实心球起点处的坐标；

(3) 当实心球从起点到落地点的水平距离超过 $\text{[math]}$ 时，得分为满分．请通过计算说明小宇在此次掷球中是否得满分．

综合题普通

1. 在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为 $\text{[math]}$ ，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．

填空题普通

2. 竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h=at²+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（　　）

A. 第3秒 B. 第3.5秒 C. 第4.2秒 D. 第6.5秒

单选题普通

3. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：

t	0	1	2	3	4	5	6	7	…
h	0	8	14	18	20	20	18	14	…

下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= $\text{[math]}$ ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

单选题普通

乒乓球发球机的运动路线
素材一	如图1，某乒乓球台面是矩形，长为280cm，宽为150cm，球网商度为14cm.乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方 25cm的点 P处.
素材二	假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离∞（m）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处.以O为原点，桌面中线所在直线为∞轴，建立如图2所示的平面直角坐标系。
素材三	如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）.
问题解决
任务一	研究乒乓球的	（1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求飞行轨迹写出自变量的取值范围）.
任务二	击球点的确定	（2）当h=20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由。
任务三	击球点的距离	（3）若h=40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围。