如图，抛物线交轴于两点，交轴于点，．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若是抛物线的第一象限图象上一点，设点的横坐标为m，点在线段上，CD=m，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在抛物线上一点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

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1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 是抛物线的第一象限图象上一点，设点 $\text{[math]}$ 的横坐标为m，

点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，CD=m，当 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底边的等腰三角形时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在抛物线上一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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解答题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 一个二次函数的图象经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点．求：这个二次函数的解析式．

解答题容易

2. 已知二次函数图象过点A(2，1)，B(4，1)且最大值为2，求二次函数的解析式．

解答题容易

3. 已知二次函数的顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，且其图象经过点 $\text{[math]}$ ，求此二次函数的解析式.

解答题容易

定义：如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于A，B两点，点P在抛物线上（点P与A，B两点不重合），如果△ABP的三边满足 $\text{[math]}$ ，则称点P为抛物线 $\text{[math]}$ 的勾股点。

(1) 直接写出抛物线 $\text{[math]}$ 的勾股点的坐标；

(2) 如图2，已知抛物线C： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于A，B两点，点P（1， $\text{[math]}$ ）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；

(3) 在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件 $\text{[math]}$ 的点Q（异于点P）的坐标

解答题困难

2. 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点(4，2).点 P 在这条抛物线上，且点 P 的横坐标为m，过点 P 作 PQ⊥y轴，点 Q 的横坐标为2-4m.

(1) 求该抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标.

(2) 作以 P 为圆心、半径长为3的⊙P，当⊙P与x轴相切时，求点 P 的坐标.

(3) 当线段 PQ被抛物线分成1：2 两部分时，求 m的值.

(4) 过点 P 作 $\text{[math]}$ 轴，点 M 的纵坐标为m+2，且点 M 与点 P 不重合，连结 MQ，当抛物线在△PQM内的部分对应的函数值y随x 的增大而减小时，直接写出m的取值范围.

解答题困难

3. 如图，已知抛物线y=ax²+bx+1经过点（2，6），且与直线 $\text{[math]}$ 相交于A，B两点，点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（4，0）．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若P是直线AB上方该抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E，求线段PE的最大值；

(3) 在（2）的条件，设PC与AB相交于点Q，当线段PC与BE相互平分时，请求出点Q的坐标．

解答题普通

1. 如图，已知抛物线经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ， P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ；②抛物线的最大值为 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④OP的最小值为 $\text{[math]}$ ．则正确的结论为（）

A. ①②④ B. ①② C. ①②③ D. ①③④

单选题普通

2. 抛物线y＝ax²+bx﹣3与x轴交于A ， B两点，与y轴交于点C ，且OB＝OC＝3OA ，求抛物线的解析式（）

A. y＝x²﹣2x﹣3 B. y＝x²﹣2x+3 C. y＝x²﹣2x﹣4 D. y＝x²﹣2x﹣5

单选题容易

3. 已知二次函数y＝ax²＋bx＋c中，自变量x与函数y的部分对应值如下表：

x	…	－2	0	2	3	…
y	…	8	0	0	3	…

当x＝－1时，y＝．

填空题普通

1. 如图1， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 点 $\text{[math]}$ 是拋物线上的一个动点．

①如图1，若点 $\text{[math]}$ 在第一象限内，连接PA交直线BC于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ 面积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求点P坐标

②如图2，拋物线的对称轴与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是对称轴上的一个动点，是否存在以点P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标．若不存在，请说明理由．

解答题困难

2. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 与经过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 及抛物线的表达式；

(2) 在抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 以点 $\text{[math]}$ 为圆心，画半径为2的圆，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一个动点，请求出 $\text{[math]}$ 的最小值．

解答题困难

3. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A和点 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点E，交 $\text{[math]}$ 于点F．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 当 $\text{[math]}$ 的周长是线段 $\text{[math]}$ 长度的2倍时，求点P的坐标；

(3) 当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点B作直线 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交直线 $\text{[math]}$ 于点M．当 $\text{[math]}$ 时，请直接写出点Q的坐标．

综合题困难

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ （a，c为常数， $\text{[math]}$ ）经过点 $\text{[math]}$ ，顶点为D．

（Ⅰ）当 $\text{[math]}$ 时，求该抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求该抛物线的解析式；

（Ⅲ）当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ ，过点C作直线l平行于x轴， $\text{[math]}$ 是x轴上的动点， $\text{[math]}$ 是直线l上的动点．当a为何值时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，并求此时点M，N的坐标．

解答题困难