地球有多大？古希腊数学家埃拉托斯特尼利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之旅．项目任务(一)如图 1，某日正午，小红在地 (与太阳直射点在同一子午线上)测得太阳光与木棍的夹角为，则 ▲ ．若测得之间弧长为，则地球子午线周长为 ▲ (用含的代数式表示)项目任务(二)如图 2 ，某日正午，小红和小明在同一子午线的地、地测得太阳光与木棍的夹角分别为，则 ▲ ．若测得之间弧长为，则地球子午线周长为 ▲ (用含的代数式表示)项目任务(三)如图 3 ，日落时，身高为的小亮蹲在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时，他马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时．小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了，请据此计算出地球的半径与周长．(用含的代数式表示)

1. 地球有多大？古希腊数学家埃拉托斯特尼利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．

下面让我们一起开启“探求地球周长”的数学项目化学习之旅．

项目任务(一)	如图 1，某日正午，小红在 $\text{[math]}$ 地 (与太阳直射点 $\text{[math]}$ 在同一子午线上)测得太阳光与木棍的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ▲ ．若测得 $\text{[math]}$ 之间弧长为 $\text{[math]}$ ，则地球子午线周长为 ▲ (用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示)
项目任务(二)	如图 2 ，某日正午，小红和小明在同一子午线的 $\text{[math]}$ 地、 $\text{[math]}$ 地测得太阳光与木棍的夹角分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ▲ ．若测得 $\text{[math]}$ 之间弧长为 $\text{[math]}$ ，则地球子午线周长为 ▲ (用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示)
项目任务(三)	如图 3 ，日落时，身高为 $\text{[math]}$ 的小亮蹲在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时，他马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时．小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了 $\text{[math]}$ ，请据此计算出地球的半径与周长．(用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示)

【考点】

切线的性质; 弧长的计算; 解直角三角形的其他实际应用;

【答案】

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实践探究题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

换一批

1. 若扇形的圆心角为 $\text{[math]}$ ，半径为1，则扇形的弧长为______．

填空题容易

2. 半径是10cm，圆心角为120°的扇形弧长为cm（结果保留 $\text{[math]}$ ）．

填空题容易

3. 如图，传送带的一个转动轮的半径为 $\text{[math]}$ ，转动轮转 $\text{[math]}$ ，传送带上的物品A被传送 $\text{[math]}$ ．

填空题容易

1. 如图①，某人的一器官后面 $\text{[math]}$ 处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离.为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量，某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离.方案如下：

课题	检测新生物到皮肤的距离
工具	医疗仪器等
示意图
说明	如图②，新生物在 $\text{[math]}$ 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的 $\text{[math]}$ 处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为 $\text{[math]}$ ；再在皮肤上选择距离 $\text{[math]}$ 处 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为 $\text{[math]}$ .
测量数据	$\text{[math]}$

请你根据上表中的测量数据，计算新生物 $\text{[math]}$ 处到皮肤的距离.(结果精确到 $\text{[math]}$ )(参考数据： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )

实践探究题普通

2. 为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．

测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告

活动课题	测量台儿庄古城城门楼高度
活动目的	运用三角函数知识解决实际问题
活动工具	测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图		测量步骤	如图② ⑴利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°； ⑵前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．
参考数据	sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
计算城门楼PO的高度（结果保留整数）

实践探究题普通

3. 问题：如何设计“倍力桥”的结构？

图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁 $\text{[math]}$ ，使得横梁不能移动，结构稳固.图2是长为 $\text{[math]}$ ，宽为3cm的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为1cm的半圆，圆心分别为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，纵梁是底面半径为1cm的圆柱体，用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计.

探究1：

(1) 图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心， $\text{[math]}$ 是横梁侧面两边的交点，测得 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到AB的距离为12cm，试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并求 $\text{[math]}$ 的值.

(2) 若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.

①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

②若有 $\text{[math]}$ 根横梁绕成的环（ $\text{[math]}$ 为偶数，且 $\text{[math]}$ ，试用关于 $\text{[math]}$ 的代数式表示内部形成的多边形 $\text{[math]}$ 的周长.

实践探究题困难

1. 如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，则劣弧弧MN的长度为．

填空题普通

2. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD相交于点P.若∠P=120°，⊙O的半径为6 cm，则图中 $\text{[math]}$ 的长为cm（结果保留π）.

填空题普通

3. 已知，如图，⊙O的半径为6，正六边形ABCDEF与⊙O相切于点C、F，则 $\text{[math]}$ 的长度是（　　）

A. 2π B. 3π C. 4π D. 5π

单选题容易

1. 如图1，某玩具风车的支撑杆 $\text{[math]}$ 垂直于桌面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为风车中心， $\text{[math]}$ ，风车在风吹动下绕着中心 $\text{[math]}$ 旋转，叶片端点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 四等分，已知 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ．

(1) 风车在转动过程中，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 左侧，如图2所示，求点 $\text{[math]}$ 到桌面 $\text{[math]}$ 的距离（结果保留根号）；

(2) 在风车转动一周的过程中，求点 $\text{[math]}$ 到桌面的距离不超过 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 所经过的路径长（结果保留 $\text{[math]}$ ）；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切时，求切线长 $\text{[math]}$ 的值，并直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点到桌面 $\text{[math]}$ 的距离的差．

综合题困难

2. 影子在我们生活中是常见的，那么利用影子能解决什么问题呢?某校以《影子的故事》展开项目式学习：

(1) 地球有多大？2000多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．

项目任务（一）

如图1，太阳光线 $\text{[math]}$ 是竖直插在球面上的木杆，AB、CE的延长线都经过圆心 $\text{[math]}$ ．已知B、E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，则 $\text{[math]}$ 的度数为 ▲ .

(2) 中国古代也有类似的记载，陈子测日法是由我国古代杰出的数学家陈子提出，用来测量太阳高度的．陈子测量太阳高度的方法可叙述为︰当夏至太阳直射北回归线时，在北方立一八尺高的标竿，观其影长为六尺。然后测量者向南移动标竿，每移动一千里，标竿的影长就减少一寸。查阅资料后，进行如下项目式研究：

项目任务（二）

如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为α，β，则∠BOA＝ ▲ ，若测得AB之间弧长为l，则地球子午线周长为 ▲ ．（用含α，β，l的代数式表示）

项目任务（三）

如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了∠PQH＝θ，请据此计算出地球的半径R= ▲ ．（用含h，θ的代数式表示）

项目任务（四）

如图，同学们发现校门旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E，通过测量得到BC＝5米，DE＝2米，并测得光线与水平面夹角∠DEF＝43°．请你利用同学们的测量数据求出电线杆AB的高度．（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93；结果保留整数）

实践探究题困难

3. 图1是修正带实物图，图2是其示意图，使用时⊙B上的白色修正物随透明条（载体）传送到点O处进行修正，留下来的透明条传到⊙A收集. 即透明条的运动路径为： M→C→O→P→N.假设O，P，A，B在同一直线上，BC＝3cm，AC＝4cm，AC⊥BC，tan∠ACO＝ $\text{[math]}$ ， P为OA中点.

(1) 点B到OC的距离为cm.

(2) 若⊙A的半径为1cm，当留下的透明条从点O出发，第一次传送到⊙A上某点，且点B到该点距离最小时，最多可以擦除的长度为cm.

填空题困难