北斗卫星是我国自主研发的地球同步轨道卫星，位于赤道正上方，为全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位导航等服务，如图，是地球的轴截面（把地球的轴截面近似的看成圆形），点P是一颗北斗卫星，在北纬的点A（即）观测，是点A处的地平线（即与相切于点A），测得，已知地球半径约为，图中各点均在同一平面内，求卫星P到地球表面的最短距离．（，，，，结果精确到．）

1. 宝岩寺塔始建于北宋时期，已有近千年的历史，为仿木结构楼阁式七级砖塔，整体呈奶黄色，平面呈六角形，塔角雕饰龙首，塔身浮雕壁画，如今已经成为驻马店西平县的地标性建筑．某实践探究小组想测得宝岩寺塔的高度，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：

实践探究活动记录表
活动内容：宝岩寺塔的高度活动日期：2024年3月12日
成员组长：×× 组员：××××××××××××
工具：测角仪，皮尺等
测量示意图		说明：塔高无法直接测量，数据勘测组在A，B两处通过测角仪可测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的度数，以及使用皮尺测得AB的长度．
测量数据	角的度数	$\text{[math]}$
		$\text{[math]}$
		$\text{[math]}$
	边的长度	$\text{[math]}$ 米
计算数据	求塔高（ $\text{[math]}$ ）．	（结果精确到 $\text{[math]}$ ．参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
特殊说明	（点A，B，C，D在同一平面内，且点A，B，C在同一水平线上）

综合题容易

2. 如图，焊接屋顶人字钢架，包括底角为 $\text{[math]}$ 的等腰三角形外框和 $\text{[math]}$ 高的支柱（D为底边中点），求上弦 $\text{[math]}$ 的长和共需钢材（结果取整数）．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

解答题容易

3. 北京时间2024年1月23日，新疆阿克苏地区乌什县发生7.1级地震，相关部门第一时间赶赴现场参与救授工作如图，某探测队在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 米，求该生命迹象所在位置C的深度.（结果精确到1米.参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

解答题容易

1. 为让学生感悟自然界和生活中的数学，王老师组织大家周末到户外，同学们发现休闲广场水平地面上放置两个同样大小的球形石墩，每个石墩在阳光下形成自己的影子．同学们对球形石墩的半径十分感兴趣，观察并绘制了如图所示的平面示意图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是两球的主视图，均与地面l相切，太阳光线与地面的夹角是 $\text{[math]}$ ，由此得到 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ m， $\text{[math]}$ m请根据以上数据求出球的半径 $\text{[math]}$ ．（参考数据： $\text{[math]}$ 结果精确到 $\text{[math]}$ m）

综合题普通

2. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为 $\text{[math]}$ 的筒车 $\text{[math]}$ 按逆时针方向每分钟转 $\text{[math]}$ 圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

(1) 经过多长时间，盛水筒P首次到达最高点？

(2) 浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？

(3) 若接水槽 $\text{[math]}$ 所在直线是 $\text{[math]}$ 的切线，且与直线 $\text{[math]}$ 交于点M， $\text{[math]}$ ．求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 $\text{[math]}$ 上．

综合题普通

3. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，连结AD．

(1) 求证：AD∥OC．

(2) 小聪与小明在做这个题目的时候，对∠CDA与∠AOC之间的关系进行了探究：

小聪说，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值；

小明说，∠CDA+∠AOC的值随∠A度数的变化而变化。

若∠CDA+∠AOC的值为y，∠A度数为x．你认为他们之中谁说的是正确的?若你认为小聪说的正确，请你求出这个固定值：若你认为小明说的正确，请你求出y与x之间的关系．

综合题困难

1. 小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为里．

填空题普通

2. 如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（）

A. 6 $\text{[math]}$ B. 3 $\text{[math]}$ C. 6 D. 3

单选题普通

3. 如图所示，在平面直角坐标系中，过格点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 作一圆弧，在第一象限，过点B与格点（填点的坐标）的直线与该圆弧相切．

填空题容易

1. 如图1，某玩具风车的支撑杆 $\text{[math]}$ 垂直于桌面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为风车中心， $\text{[math]}$ ，风车在风吹动下绕着中心 $\text{[math]}$ 旋转，叶片端点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 四等分，已知 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ．

(1) 风车在转动过程中，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 左侧，如图2所示，求点 $\text{[math]}$ 到桌面 $\text{[math]}$ 的距离（结果保留根号）；

(2) 在风车转动一周的过程中，求点 $\text{[math]}$ 到桌面的距离不超过 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 所经过的路径长（结果保留 $\text{[math]}$ ）；

(3) 连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切时，求切线长 $\text{[math]}$ 的值，并直接写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点到桌面 $\text{[math]}$ 的距离的差．

综合题困难

2. 筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，如图所示，半径为 $\text{[math]}$ 的筒车 $\text{[math]}$ 按逆时针方向，每秒旋转4度，筒车与水面分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，筒车的轴心 $\text{[math]}$ 距离水面的高度 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，水筒 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 点重合时开始计算时间．

(1) 3.5秒后，盛水筒 $\text{[math]}$ 距离水面（即直线 $\text{[math]}$ ）的高是多少米?

(2) 若接水槽 $\text{[math]}$ 所在直线是 $\text{[math]}$ 的切线，且与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求盛水筒 $\text{[math]}$ 从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 $\text{[math]}$ 上?（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

计算题普通

3. 影子在我们生活中是常见的，那么利用影子能解决什么问题呢?某校以《影子的故事》展开项目式学习：

(1) 地球有多大？2000多年前，古希腊数学家埃拉托斯特尼（Eratosthenes）利用太阳光线测量出了地球子午线的周长．

项目任务（一）

如图1，太阳光线 $\text{[math]}$ 是竖直插在球面上的木杆，AB、CE的延长线都经过圆心 $\text{[math]}$ ．已知B、E间的劣弧长约为800千米，子午线周长约为40000千米，则 $\text{[math]}$ 的度数为 ▲ .

(2) 中国古代也有类似的记载，陈子测日法是由我国古代杰出的数学家陈子提出，用来测量太阳高度的．陈子测量太阳高度的方法可叙述为︰当夏至太阳直射北回归线时，在北方立一八尺高的标竿，观其影长为六尺。然后测量者向南移动标竿，每移动一千里，标竿的影长就减少一寸。查阅资料后，进行如下项目式研究：

项目任务（二）

如图2，某日正午，小红和小明在同一子午线的B地、C地测得太阳光与木棍的夹角分别为α，β，则∠BOA＝ ▲ ，若测得AB之间弧长为l，则地球子午线周长为 ▲ ．（用含α，β，l的代数式表示）

项目任务（三）

如图3，日落时，身高为h的小亮趴在地上平视远方，在太阳完全从地平线上消失的一瞬间，按下秒表开始计时．同时马上站起来，当太阳再次完全消失在地平线的瞬间，停止计时，小亮利用这个时间差和地球自转的速度计算出了∠PQH＝θ，请据此计算出地球的半径R= ▲ ．（用含h，θ的代数式表示）

项目任务（四）

如图，同学们发现校门旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高处G，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上一点E，通过测量得到BC＝5米，DE＝2米，并测得光线与水平面夹角∠DEF＝43°．请你利用同学们的测量数据求出电线杆AB的高度．（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93；结果保留整数）

实践探究题困难

1. 如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为（）

A. 2 $\text{[math]}$ B. 3 C. 4 D. 4- $\text{[math]}$

单选题普通

2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则 $\text{[math]}$ 的最大值是.

填空题困难