综合与实践课上，李老师让同学们以“翻折”为主题展开探究．【问题情境】如图①，在矩形中，．点在射线上，将边沿翻折得到线段，连接．【猜想证明】（1）当点落在上时，四边形的形状为______．（直接写出答案）（2）如图②，当时，连接，求此时的面积；【能力提升】（3）在【问题情境】的条件下，点三点共线，请直接写出此时的长度．

1. 如图．折叠矩形 $\text{[math]}$ 的一边 $\text{[math]}$ ，使点D落在边 $\text{[math]}$ 上的点F处，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易

2. 如图，折叠矩形的一边 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边的点 $\text{[math]}$ 处，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易

3. 如图，将矩形纸片 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ （E在 $\text{[math]}$ 上）折叠，点A正好落在对角线 $\text{[math]}$ 上，已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易

1. 定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．

了解性质：如图1：已知四边形ABCD中，AC⊥BD ．垂足为O ，则有：AB²+CD²＝AD²+BC²；

（图1）（图2）（图3）

（图4）（图5）

(1) 性质应用：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，若AD=2，BC=4，CD=3，则AB=；

(2) 性质变式：如图2，图3，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP²+CP²＝BP²+DP² ．请以图3为例将重要结论证明出来．

(3) 应用变式：①如图4，在矩形ABCD中，O为对角线交点，P为BO中点，则 $\text{[math]}$ ；(写出证明过程）

②如图5，在∆ABC中，CA=4，CB=6，D是∆ABC内一点，且CD=2，∠ADB=90°，则AB的最小值是．

实践探究题困难

2. 矩形折叠探究

在矩形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的一点．

(1) 如图1，王欢在边 $\text{[math]}$ 上取一点N，将纸片沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点C落在边 $\text{[math]}$ 上，记为点P，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，张乐在边 $\text{[math]}$ 上取一点N，将纸片沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，当点C与点A重合时，求 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折得 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交线段 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边构造 $\text{[math]}$ ．

(1) 当点 $\text{[math]}$ 在矩形 $\text{[math]}$ 内部时，

①小聪通过画图探究，得到以下数据，根据题意，将表格补充完整．

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

②写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，不必说明理由．

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求所有符合条件的 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 当点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点恰好落在线段 $\text{[math]}$ 上，且不与点 $\text{[math]}$ 重合时， $\text{[math]}$ ．

实践探究题困难

1. 如图，已知矩形 $\text{[math]}$ ，点E是 $\text{[math]}$ 边的中点，F为 $\text{[math]}$ 边上一点， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，有如下结论：① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ ， ④ $\text{[math]}$ ，其中正确的是（）

A. ②④ B. ①②④ C. ①③ D. ①③④

单选题普通

2. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点M是 $\text{[math]}$ 的中点，点N是射线 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折至 $\text{[math]}$ ，使D恰好落在 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

3. 如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（　　）

A. 12厘米 B. 16厘米 C. 20厘米 D. 28厘米

单选题普通

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 恰好与射线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 重合．

(1) 如图，当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上时．

①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为______；

②若 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 作 $\text{[math]}$ 的平分线交射线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 为矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在第一象限， $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一点．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时．

$\text{[math]}$ 分别求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；

$\text{[math]}$ 连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折， $\text{[math]}$ 点恰好落在 $\text{[math]}$ 上的 $\text{[math]}$ 点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的度数；