【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为，点A在上，点B为线段中点，过点B作垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为，试探究点的轨迹．【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点在一个确定的圆上，下面是部分证明过程：证明：证明过程缺失∴点在以点______为圆心，______为半径的圆上．（1）请你补全证明中的缺失过程．【结论应用】（2）如图②，的半径为，点A与点C在上且．点B为线段上的点，且，过点B作的垂线l．点P是上一动点，点P关于直线l的对称点为．当点P从点A运动到点C时，点的运动路径长为______．【拓展提升】（3）如图③，若把上述问题的条件“”去掉，其它条件不变，为直径．点D到点距离d的取值范围是_____

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1. 【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，点A在 $\text{[math]}$ 上，点B为线段 $\text{[math]}$ 中点，过点B作 $\text{[math]}$ 垂线l．点P是 $\text{[math]}$ 上一动点，点P关于直线l的对称点为 $\text{[math]}$ ，试探究点 $\text{[math]}$ 的轨迹．

【问题解决】经过讨论，小组同学猜想点 $\text{[math]}$ 在一个确定的圆上，下面是部分证明过程：

证明：

证明过程缺失

∴点 $\text{[math]}$ 在以点______为圆心，______为半径的圆上．

（1）请你补全证明中的缺失过程．

【结论应用】（2）如图②， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，点A与点C在 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ．点B为线段 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，过点B作 $\text{[math]}$ 的垂线l．点P是 $\text{[math]}$ 上一动点，点P关于直线l的对称点为 $\text{[math]}$ ．当点P从点A运动到点C时，点 $\text{[math]}$ 的运动路径长为______．