动手操作利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法．如图1，将等腰直角三角形的边绕点B顺时针旋转得到线段，，，连接，过点做交CB延长线于点H．（1）在图1中：易知，则；思考探索如图2，若为任意直角三角形，、、、分别用a、b、c表示．边绕点B顺时针旋转，得到，过点作，交BC延长线于点．（2）在图2中：的面积为；拓展延伸（3）如图3，在中，，，，，，连接． ①求的面积；②在中，在BC边的高上找一点D，使的值最小，求AD的长和的最小值．

1. 动手操作

利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法．

如图1，将等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 做 $\text{[math]}$ 交CB延长线于点H．

（1）在图1中：易知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

思考探索

如图2，若 $\text{[math]}$ 为任意直角三角形， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别用a、b、c表示． $\text{[math]}$ 边绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交BC延长线于点 $\text{[math]}$ ．

（2）在图2中： $\text{[math]}$ 的面积为；

拓展延伸

（3）如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

①求 $\text{[math]}$ 的面积；

②在 $\text{[math]}$ 中，在BC边的高上找一点D，使 $\text{[math]}$ 的值最小，求AD的长和 $\text{[math]}$ 的最小值．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 旋转的性质;

【答案】

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实践探究题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°.求CD的长.

解答题容易

2. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题容易

3. 如图，在 $\text{[math]}$ ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，如果BC＝ $\text{[math]}$ ， AC＝3，求CD的长．

解答题容易

1. 综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 【观察感知】如图2，通过观察，线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是______；

(2) 【问题解决】如图3，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；

(3) 【类比迁移】在(2)的条件下，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______；

(4) 【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线 $\text{[math]}$ 上找点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长度．

实践探究题困难

2. 综合与实践．

【实践背景】夜间在高速公路上行车时，对向来车的灯光易引发眩光现象，进而导致交通事故，因此高速公路设置了防眩板遮挡对向车辆灯光．

【数学建模】如图是一条高速公路的俯视示意图，中央隔离带的中轴线垂直平分每块防眩板，防眩板宽度是 $\text{[math]}$ 米（ $\text{[math]}$ 米）．一辆汽车车灯位于点 $\text{[math]}$ 时，车灯发出的光线 $\text{[math]}$ 分别经过防眩板 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，光线 $\text{[math]}$ 经过防眩板 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，道路 $\text{[math]}$ 米，光线 $\text{[math]}$ 和行驶路线的夹角 $\text{[math]}$ ．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

【解决问题】

(1) $\text{[math]}$ 的长度是多少米？

(2) 防眩板 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 间的距离 $\text{[math]}$ 是多少米？

实践探究题普通

3. 【知讯回原】

已知 $\text{[math]}$ 的面积为1．如图1，分别将 $\text{[math]}$ 边2等分， $\text{[math]}$ 是其分点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，得到四边 $\text{[math]}$ ．