如图，为直角三角形，，，，是边上的中点，将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为，边与边交于点，则的长是．

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1. 如图， $\text{[math]}$ 为直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的中点，将 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，使点 $\text{[math]}$ 落在线段 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，边 $\text{[math]}$ 与边 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 解直角三角形; 旋转的性质;

【答案】

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填空题困难

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象经过正方形的顶点B．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

填空题容易

2. 如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则“人字梯”的顶端离地面的高度 $\text{[math]}$ 是 cm．

填空题容易

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点C 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为D，E为边 $\text{[math]}$ 上不与点A，C重合的动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点D作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于点F，则 $\text{[math]}$ 的值为．

填空题容易

1. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 坐标是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上，且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，当点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 落在函数 $\text{[math]}$ 的图象上时，设点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

2. 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点A坐标是 $\text{[math]}$ ，点B在x轴正半轴上，且 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点O逆时针旋转，当点A的对应点 $\text{[math]}$ 落在函数 $\text{[math]}$ 的图象上时，设点B的对应点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

填空题困难

3. 如图，已知矩形ABCD，点E是对角线BD上一点，连结CE，作EF⊥CE，交AB于F。

(1) 若AB=BC， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =；

(2) 连结CF，若 $\text{[math]}$ ∠BCF=30°，则 $\text{[math]}$ =。

填空题普通

1. 动手操作

利用旋转开展数学活动，探究图形变换中蕴含的数学思想方法．

如图1，将等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 做 $\text{[math]}$ 交CB延长线于点H．

（1）在图1中：易知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

思考探索

如图2，若 $\text{[math]}$ 为任意直角三角形， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别用a、b、c表示． $\text{[math]}$ 边绕点B顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交BC延长线于点 $\text{[math]}$ ．

（2）在图2中： $\text{[math]}$ 的面积为；

拓展延伸

（3）如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

①求 $\text{[math]}$ 的面积；

②在 $\text{[math]}$ 中，在BC边的高上找一点D，使 $\text{[math]}$ 的值最小，求AD的长和 $\text{[math]}$ 的最小值．

实践探究题困难

2. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，相交于点G，作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点F，设 $\text{[math]}$ ．

【变中不变】

（1）明明发现：连接 $\text{[math]}$ ，当点E的位置在 $\text{[math]}$ 上发生变化时， $\text{[math]}$ 的度数始终不变．经过思考，他整理出如下说理过程，请补充完整．

∵ $\text{[math]}$ ，且①_______；

∴ $\text{[math]}$ ；

∴ $\text{[math]}$ 即： $\text{[math]}$ ；

又∵ $\text{[math]}$ ；

∴②_______；

∴ $\text{[math]}$ ；

在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ；

∴ $\text{[math]}$ ；

∴ $\text{[math]}$ ③_______°，即 $\text{[math]}$ 度数不变．

【尝试应用】

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

【思维拓展】

（3）将 $\text{[math]}$ 绕着点E顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，是否存在这样的x，使得 $\text{[math]}$ 有顶点落在直线 $\text{[math]}$ 上，若存在，请求出满足条件的x值；若不存在，请说明理由．

解答题困难

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D在直线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．