专题06-2 瓜豆原理之圆弧轨迹型（几何最值模型）—中考数学重难点突破

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专题06-2 瓜豆原理之圆弧轨迹型（几何最值模型）—中考数学重难点突破

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2025-04-16

如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的一条直角边 $\text{[math]}$ 在x轴上，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，点M是 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A. 3 B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. 2

单选题未知

在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转得到 $\text{[math]}$ ，其中点A，C的对应点分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 的延长线上时，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点M，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图3，连接 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，点E为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．在旋转过程中， $\text{[math]}$ 是否存在最小值？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

综合题困难

在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动.

(1) $\text{[math]}$ 是边长为3的等边三角形，E是边 $\text{[math]}$ 上的一点，且 $\text{[math]}$ ，小亮以 $\text{[math]}$ 为边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，如图1，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) $\text{[math]}$ 是边长为3的等边三角形，E是边 $\text{[math]}$ 上的一个动点，小亮以 $\text{[math]}$ 为边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；

(3) $\text{[math]}$ 是边长为3的等边三角形，M是高 $\text{[math]}$ 上的一个动点，小亮以 $\text{[math]}$ 为边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；

(4) 正方形 $\text{[math]}$ 的边长为3，E是边 $\text{[math]}$ 上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形 $\text{[math]}$ ，其中点F、G都在直线 $\text{[math]}$ 上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合.则点H所经过的路径长为，点G所经过的路径长为.

综合题未知

如图，A是 $\text{[math]}$ 上任意一点，点C在 $\text{[math]}$ 外，已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形，则 $\text{[math]}$ 的面积的最大值为（）

A． $\text{[math]}$ B.4 C． $\text{[math]}$ D.6

单选题未知

如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．在矩形 $\text{[math]}$ 外部找一点E，使得 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的最大值为．

填空题普通

已知如图， $\text{[math]}$ 是腰长为4的等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，以A为圆心，2为半径作半圆A，交 $\text{[math]}$ 所在直线于点M，N．点E是半圆A上任意一点．连接 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕点B顺时针旋转90°到 $\text{[math]}$ 的位置，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 当 $\text{[math]}$ 与半圆A相切时，求弧 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 直接写出 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

单选题困难

填空题 (共4题)

如图， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是正方形内一点，连接 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为中心逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

填空题未知

如图，在直角坐标系中，点A坐标为（2，0），点B的坐标为（6，0），以B点为圆心，2长为半径的圆交 $\text{[math]}$ 轴于C、D两点，若P是⊙B上一动点，连接PA，以PA为一直角边作Rt△PAQ，使得 $\text{[math]}$ ，连接DQ，则DQ的最小值为.

填空题普通

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向运动，到达点B时停止运动，连结 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，连接A^'C， $\text{[math]}$ ．在运动过程中，点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离的最大值是；点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，线段 $\text{[math]}$ 扫过的面积为．

填空题困难

如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，半径为2的 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一动点，点 $\text{[math]}$ 为弦 $\text{[math]}$ 的中点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最小值为．

填空题未知

解答题 (共3题)

(1) 如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点C在 $\text{[math]}$ 上，点D在线段 $\text{[math]}$ 延长线上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为；

(2) 如图2，将图1中的 $\text{[math]}$ 绕点O顺时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）第一问的结论是否仍然成立；如果成立，证明你的结论，若不成立，说明理由．

(3) 如图3，若 $\text{[math]}$ ，点C是线段 $\text{[math]}$ 外一动点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，

①若将 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值 ▲ ；

②若以 $\text{[math]}$ 为斜边作 $\text{[math]}$ ，（B、C、D三点按顺时针排列）， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

如图1，已知线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上方旋转，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 上方作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在 $\text{[math]}$ 上方作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，用等式表示线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系是；

(2) 如图2，在(1)的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(3) 如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的值最大时，求此时 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．

(1) 求证：直线AC是⊙O的切线；

(2) 求△ABC的面积；

(3) 点E在 $\text{[math]}$ 上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．

①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；

②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．

综合题未知