在一次数学活动课上，小天同学借助角的运动变化，探究变化中的不变的量，提出了下面的问题，请你帮助小天一起求解．已知，，平分，平分．【初步感知】（1）如图，当在的内部，且与重合时，的度数为 °．【深入探究】（2）如图2，将从图的位置开始以每秒的速度绕着点顺时针旋转，设旋转的时间为秒，设． ①当时，求时的值；②小天同学发现的度数在某些时间范围内保持不变，请求出保持不变时的度数及此时的取值范围．

1. 如图所示， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．

解答题容易

2. 已知：如图，点O在直线AC上，OD平分∠AOB， $\text{[math]}$ ，求：∠EOC的度数．

解答题容易

【阅读理解】

定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 位于直线l同侧，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ，所以我们称射线 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （或射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的“双倍和谐线”．

【迁移运用】

（1）如图1，射线 $\text{[math]}$ 　　（选填“是”或“不是”）射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“双倍和谐线”；射线 $\text{[math]}$ 　　（选填“是”或“不是”）射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“双倍和谐线”；

（2）类似的，在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足3倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“三倍和谐线”．如图2，点O在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 出发，绕点O以每秒 $\text{[math]}$ 的速度逆时针旋转，运动时间为t秒．

①当射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 重合时，运动停止．若射线 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“三倍和谐线”时，求t的值；

②当射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 重合时，运动停止．若在射线 $\text{[math]}$ 旋转的同时，

$\text{[math]}$ 绕点O以每秒 $\text{[math]}$ 的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．当射线 $\text{[math]}$ 位于射线 $\text{[math]}$ 左侧且射线 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的“三倍和谐线”时，求 $\text{[math]}$ 的度数．

解答题容易

1. 综合探究：

【问题背景】：已知O是直线 $\text{[math]}$ 上的一点，射线 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的上方， $\text{[math]}$ ，将直角三角板 $\text{[math]}$ 的直角顶点放在O处，且直角三角板在直线 $\text{[math]}$ 的上方．

【问题解决】：

（1）如图1，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ______ $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ 恰好平分 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的度数；

【拓展延伸】：

（3）将图2中的三角板 $\text{[math]}$ 绕点O以每秒 $\text{[math]}$ 的速度顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，设运动时间为t秒，是否存在t值，使 $\text{[math]}$ ？若不存在，请说明理由；若存在，请求出t的值．

实践探究题困难

2. 如图，已知 $\text{[math]}$ ，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每秒 $\text{[math]}$ ，射线OD从OB开始，绕点O顺时针旋转，旋转的速度为每秒 $\text{[math]}$ ， OC和OD同时开始旋转，当射线OC第一次与射线OB重合时，射线OC和OD同时停止旋转，设旋转的时间为t秒

(1) 射线OC旋转的时间为___________秒，当t=___________秒时，射线OC和OD重合；

(2) 求t为何值时， $\text{[math]}$ ？

(3) 试探究：射线OC和OD在旋转的过程中，是否存在某个时刻t，使得三条射线OA、OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值：若不存在，请说明理由．

实践探究题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是一块含 $\text{[math]}$ 角（ $\text{[math]}$ ）三角板与 $\text{[math]}$ 摆在同一平面内，且 $\text{[math]}$ 角的顶点与 $\text{[math]}$ 顶点O重叠，边 $\text{[math]}$ 和边 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．（本题中的角均大于 $\text{[math]}$ 且小于 $\text{[math]}$ 的角）

(1) 如图1，边 $\text{[math]}$ 和边 $\text{[math]}$ 重合，三角板的另一边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的外部时，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图2，把三角板绕点O逆时针旋转α，即 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．请根据条件完成探究：

①探究三角板旋转过程中， $\text{[math]}$ 的大小是否改变？若有改变，请直接用含α的式子表示 $\text{[math]}$ ；若没有改变，请直接写出定值 $\text{[math]}$ 的度数；

②在三角板旋转过程中，是否存在α使得 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出α的值，若不存在，请说明理由．

实践探究题困难

1. 如图，点O在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

2. 如图1，O为直线 $\text{[math]}$ 上一点，作射线 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边 $\text{[math]}$ 在射线 $\text{[math]}$ 上．将图1中的三角尺绕点O以每秒 $\text{[math]}$ 的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中：

（1）当旋转10秒时，则 $\text{[math]}$ 的度数 $\text{[math]}$ ；

（2）第t秒时， $\text{[math]}$ 所在直线恰好平分 $\text{[math]}$ ，则t的值为．

填空题普通

3. 一副直角三角板如图1放置：直角三角板 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 与直角三角板 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 重合，点F在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上．如图2，将图1的直角三角板 $\text{[math]}$ 绕点B以每秒 $\text{[math]}$ 的速度顺时针旋转（当射线 $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 重合时停止）， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，当满足 $\text{[math]}$ 时，三角板 $\text{[math]}$ 的运动时间为（　　）

A. 31秒 B. $\text{[math]}$ 秒 C. 32秒 D. $\text{[math]}$ 秒

单选题容易

1. 已知：如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图2，若射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 开始绕点 $\text{[math]}$ 以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 开始绕点 $\text{[math]}$ 以每秒旋转 $\text{[math]}$ 的速度逆时针旋转；其中射线 $\text{[math]}$ 到达 $\text{[math]}$ 后立即改变运动方向，以相同速度绕 $\text{[math]}$ 点顺时针旋转，当射线 $\text{[math]}$ 到达 $\text{[math]}$ 时，射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时停止运动，设旋转的时间为 $\text{[math]}$ 秒，当 $\text{[math]}$ 时，试求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 如图3，若射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 开始绕 $\text{[math]}$ 点逆时针旋转一周，作 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，试求在运动过程中， $\text{[math]}$ 的度数是多少？（请直接写出结果）

解答题困难

2. 如图， $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度从 $\text{[math]}$ 位置出发，射线 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 的速度从 $\text{[math]}$ 位置出发，设两条射线同时绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 若 $\text{[math]}$ ．

①当三条射线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 构成的三个度数大于 $\text{[math]}$ 的角中，有两个角相等，求此时 $\text{[math]}$ 的值；

②在射线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 转动过程中，射线 $\text{[math]}$ 始终在 $\text{[math]}$ 内部，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

3. 已知直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点O，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点O．

(1) 如图①，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图②，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

解答题普通